学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

学習習慣の身につけ方

・学習する時間を決める

・いろいろなところに学習教材を置いておく

・細切れの時間にも学習する

・学習用の紙と鉛筆を携帯する

・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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中学生でも手が届く京大入試問題(43)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度京大入試問題(前期、理系)です。

問題は、
「四面体ABCDはAC=BD、AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。

(1) 辺ABと線分PQは垂直であることを示せ。

(2)線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図1の △ACD と △BDC において、
AC=BD
AD=BC
CD=DC
から、△ACD≡△BDC です。 


▲図1.△ACD≡△BDC です


このとき、Qは辺CDの中点なので、
QA=QB
が成り立ち、△QAB は二等辺三角形です。

またPは辺ABの中点で、二等辺三角形の頂点と底辺の中点を結んだ直線は底辺と垂直に交わるので、辺ABと線分PQは垂直です。

続いて(2)です。

(1)と同様、図2に示すように、辺CDと線分PQは垂直です。


▲図2.辺CDと線分PQは垂直です


ここで図3のように、直線PQを軸として四面体ABCDを180°回転させると、AB⊥PQ、AP=BPなので、AとBの位置が入れ替わり、同様に、CD⊥PQ、CQ=DQなので、CとDの位置が入れ替わります。


▲図3.直線PQを軸として四面体ABCDを180°回転させると、AとB、CとDの位置が入れ替わります


さらに、平面αを直線PQを軸として180°回転させた場合、回転後の平面は平面αと同じになります。

つまり、直線PQを軸として四面体ABCDを180°回転させた場合、AとB、CとDの位置がそれぞれ入れ替わるだけで、平面αは変わらないので、平面αで分割した2つの部分は合同になります。

したがって、この2つの部分の体積は等しくなります。


簡単な問題です。


学研CAIスクール 東久留米滝山校
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TEL 042-472-5533