学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

学習習慣の身につけ方

・学習する時間を決める

・いろいろなところに学習教材を置いておく

・細切れの時間にも学習する

・学習用の紙と鉛筆を携帯する

・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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中学生でも手が届く京大入試問題(42)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成11年度京大入試問題(前期、理系)です。

問題は、
「以下の問いに答えよ。ただし、

が無理数であることは使ってよい。

(1) 有理数p、q、r について、

ならば、p=q=r=0であることを示せ。

(2) 実数係数の2次式

について、

のいずれかは無理数であることを示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


から

で、この両辺を2乗すると、

になり、これを変形すると、

です。

このとき[2]の右辺は有理数ですから、左辺が有理数になるためには、
qr=0
になります。

(ⅰ) q=0の場合
[1]は、

になり、[3]の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
r=0
で、したがって、
p=q=r=0
になります。

(ⅱ) r=0の場合
[1]は、

になり、[4]の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
q=0
で、したがって、
p=q=r=0
になります。

以上から、有理数p、q、rについて、[1]が成り立つならば、p=q=r=0 であることを示すことができました。

続いて(2)です。


です。

ここで、[5]が有理数であるならば、
a+b は有理数            [★]
になります。

すると[6]から

は有理数で、
a=-2               [8]
になります。

このとき[7]は、

で、これが有理数ならば、bは無理数になります。

すると、[8]から a+b は無理数になり、これは[★]に反します。

以上から[5]、[6]、[7]が同時に有理数になることなく、したがって、

のいずれかは無理数になります。


(2)は(1)の結果を利用するほうが明快かもしれません。


学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533