学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・細切れの時間にも学習する

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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中学生でも手が届く京大入試問題(40)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成28年度京大入試問題(前期、文系)です。

問題は、
「四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。

 条件:頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。

ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。」

先日取り上げた理系の問題「中学生でも手が届く京大入試問題(39)」では、今回の重心に代わって外心でしたが、今回も同じように進めてみましょう。

図1のように、頂点AとOからそれぞれの対面に下ろした垂線の足をH、I とします。


▲図1.頂点AとOからそれぞれの対面に下ろした垂線の足をH、I としました


このとき、H、Iはそれぞれ△OBCと△ABCの重心なので、Hは頂点Aと辺BCの中点Mの線分上にあり、I は頂点OとMの線分上にあります。つまり、A、O、M、H、I は同一面上にあることになります。

そこで図2のように△AOMに注目すると、∠OHP=∠AIP、∠OPH=∠API から△OHP∽△AIPです。


▲図2.△OHP∽△AIPです


また、
(△OMIの面積)=(△AOMの面積)×2/5
(△AMHの面積)=(△AOMの面積)×2/5
から、
(△OMIの面積)=(△AMHの面積)
になり、さらに、
(△OHPの面積)=(△OMIの面積)-(四角形MHPIの面積)
(△AIPの面積)=(△AMHの面積)-(四角形MHPIの面積)
から、
(△OHPの面積)=(△AIPの面積)
が成り立ちます。

つまり、△OHPと△AIPは相似、かつ、面積が等しい三角形なので、△OHP≡△AIPになり、したがって、OM=AMが成り立ちます。

次に図3のように、△AMHに注目すると、三平方の定理から
AM:MH:AH=5:2:√21
になり、したがって、△AOHは辺の比が3:√21で、その間の角が90°の三角形になります。


▲図3.△AOHは辺の比が3:√21でその間の角が90°の三角形になります


さらに図4のように、頂点AとBからそれぞれの対面に垂線を下ろした場合を調べると、先ほどと同じように、△ABHは辺の比が3:√21で、その間の角が90°の三角形になります。


▲図4.△ABHは辺の比が3:√21でその間の角が90°の三角形になります


つまり、△AOHと△ABHは相似で、このときAHは共通なので、△AOH≡△ABHになり、したがって、AO=ABが成り立ちます。

以上は、四面体の他の辺について同様なので、四面体のすべての辺の長さは等しくなり、したがって、四面体OABCは正四面体になります。

理系の問題より煩雑になりました。ベクトルを利用すると簡単なのかもしれません。


学研CAIスクール 東久留米滝山校
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TEL 042-472-5533