学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

学習習慣の身につけ方

・学習する時間を決める

・いろいろなところに学習教材を置いておく

・細切れの時間にも学習する

・学習用の紙と鉛筆を携帯する

・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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中学生でも手が届く東大入試問題(18)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成12年度東大入試問題(前期、理系)です。

問題は、
「次の条件を満たす正の整数全体の集合をSとする。
 『各けたの数字は互いに異なり、どの2つのけたの数字の和も9にならない』
ただし、Sの要素は10進法で表す。また、1けたの正の整数はSに含まれるとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) Sの要素でちょうど4けたであるものは何個あるか。
(2) 小さい方から数えて2000番目のSの要素を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

0以上9以下の整数で2個の数の和が9になる組合せは、
(0,9)、(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)
の5通りで、どの2つのけたの数字の和も9にならないということは、Sの要素はこれらの組合せの2個の数字を同時にもたないということです。

ここでSの要素で4けたの数で各けたの数字の選び方を考えると、
・ 4けた目の数字の選び方は1から9までの9通り、
・ 3けた目の選び方は4けた目に選んだ数字のペア以外の8通り、
・ 2けた目の選び方は4、3けた目に選んだ数字のペア以外の6通り、
・ 1けた目の選び方は4、3、2けた目に選んだ数字のペア以外の4通り
なので、Sの要素でちょうど4けたであるものの個数は、
9×8×6×4= 1728 (個)
で、これが(1)の答えです。

続いて(2)です。

ここは、小さい数から個数を勘定していきましょう。

● 1けたの数の個数
・ 1から9までの数字を選ぶことができるので、9個です。

● 2けたの数の個数
・ 2けた目の数字の選び方は9通り、
・ 1けた目の選び方は2けた目に選んだ数字のペア以外の8通り
なので、9×8=72(個)です。

● 3けたの数の個数
・ 3けた目の数字の選び方は9通り、
・ 2けた目の選び方は3けた目に選んだ数字のペア以外の8通り、
・ 1けた目の選び方は3、2けた目に選んだ数字のペア以外の6通り
なので、9×8×6=432(個)です。

以上から、Sの要素で3けた以下の数の個数は、
9+72+432=513(個)
で、(1)から4けたの数の個数が1728個であることから、小さい方から2000番目の数は、2000-513=1487(番目)の4けたの数であることが判ります。

そこで、Sの要素で4けた目が1の数の個数を勘定しましょう。

・ 3けた目の選び方は4けた目のペア以外の8通り、
・ 2けた目の選び方は4、3けた目のペア以外の6通り、
・ 1けた目の選び方は4、3、2けた目のペア以外の4通り
なので、8×6×4=192(個)です。

これは2***、3***、・・・、9***の数で同じで、それぞれ192個ずつになります。

すると、
1487÷192=7・・・143
から、2000番目の数の4けた目は8で、8***の小さい方から143番目の数あることが判ります。

次に、Sの要素で80**の数の個数を勘定しましょう。

・ 2けた目の選び方は4、3けた目のペア以外の6通り、
・ 1けた目の選び方は4、3、2けた目のペア以外の4通り、
なので、6×4=24(個)です。

これは82**、83**、・・・、87**、89**(81**は1と8がペアなのでNG)の数で同じで、それぞれ24個ずつになります。

すると、
143÷24=5・・・23
から、2000番目の数の3けた目は6で、86**の小さい方から23番目の数であることが判ります。

さらに、Sの要素で860*の個数を勘定しましょう。

・ 1けた目の選び方は4、3、2の4けた目のペア以外の4通り
なので、4個です。

これは862*、864*、865*、867*、869*(861*と863*はそれぞれ8と1、6と3がペアなのでNG)の数で同じで、それぞれ4個ずつになります。

すると、
23÷4=5・・・3
から、2000番目の数の2桁目は9で、869*の3番目の数であることが判ります。

最後に、869*の数で小さい方から3番目までを挙げていくと、8692、8694、8695になります。

以上から、Sの要素で小さい方から2000番目の数は 8695 で、これが答えです。


簡単な問題です。


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