学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・細切れの時間にも学習する

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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図形問題(30)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のよに、円の周上に5点A、N、B、C、Mがこの順にあり、BM、CNはそれぞれ∠ABC、∠BCAの2等分線である。


▲問題図


 BMとCNの交点を I、MNとAB、ACの交点をそれぞれP、Qとするとき、次を証明せよ。


です。

図1のように、BMは∠ABCの2等分線なので、
∠ABM=∠CBM
になり、さらに∠CBMと∠CNMは弧CMの円周角であることから
∠CBM=∠CMM
です。

したがって、
∠ABM=∠CBM=∠CMN=
です。



▲図1.∠ABM=∠CBM=∠CMN=です


同様に、
∠ACN=∠BCN=∠BMN=
が成り立ちます。

このとき、△PBMに着目すると、∠APQは△PBMの外角なので、
∠APQ=∠ABM+∠BMN=
が成り立ちます。

また、△QCNに着目すると、∠AQPは△QCNの外角なので、
∠AQP=∠ACN+∠CNM=
が成り立ちます。

したがって、
∠APQ=∠AQP
から、△APQは二等辺三角形で、AP=AQが成り立ちます。

次に(2)です。

図2のように、∠ANMと∠ABMは弧AMの円周角なので、
∠ANM=∠ABM=
です。



▲図2.∠ANM=∠ABM=です


また、∠AMNと∠ACNは弧ANの円周角なので、
∠AMN=∠ACN=
です。

すると△ANMと△INMにおいて、
∠ANM=∠INM=
∠AMN=∠IMN=
MNは共通
で、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ANM≡△INMが成り立ちます。

最後の(3)です。

図3のように、∠CAMと∠CNMは弧CMの円周角なので、
∠CAM=∠CNM=
です。


▲図3.∠CAM=∠CNM=です


また、∠BANと∠BMNは弧BNの円周角なので、
∠BAN=∠BMN=
です。

したがって、△PANと△QMAにおいて、
∠ANP=∠QAM=
∠PAN=∠QMA=
で、2組の角がそれぞれ等しいので、△PAN∽△QMAが成り立ちます。

すると、
NP:AP=AQ:MQ
になり、これから
NP×MQ=AP×AQ    (★)
です。

このとき、(1)からAP=AQで、さらに、△PNA≡△PNI(AN=IN、PN共通、∠PNA=∠PNI)からIP=APになり、これらと(★)から

が成り立ちます。


簡単な問題です。


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