学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・細切れの時間にも学習する

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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中学生でも手が届く東大入試問題(11)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成27年度東大入試問題(前期、文系)です。

問題は、
「 l を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに、以下の3条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)で定まる円C1、C2を考える。

(ⅰ) 円C1、C2は2つの不等式x≧0、y≧0で定まる領域に含まれる。
(ⅱ) 円C1、C2は直線l と同一点で接する。
(ⅲ) 円C1はx軸と点(1,0)で接し、円C2はy軸と接する。


▲問題図


円C1の半径をr1、円C2の半径をr2とする。8r1+9r2 が最小となるような直線l の方程式と、その最小値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図1のように、円C1とx軸、円C2とy軸、円C1と円C2の接点をそれぞれA、B、Tとすると、OA=OT、OB=OTからOA=OBが成り立ち、したがって、Bの座標は(0,1)になります。


▲図1.Bの座標は(0,1)です


ここで図2のように、円C1、C2の中心をそれぞれP、Qとすると、それらの座標は、P(1,r1)、Q(r2,1)になります。


▲図2.P(1,r1)、Q(r2,1)です


次にr1とr2の関係式を求めましょう。

円C1とC2がTで接しているので、線分PQの長さと線分PTと線分QTの長さが等しくなります。

線分PQの長さはPとQの座標から

で、線分PTと線分QTの長さの和は、

ですから、

が成り立ちます。

この等式の両辺を2乗すると、

で、これを展開して整理すると、

になります。

このとき、

です。

ここで、1+r1>0なので相加相乗平均から

が成り立つので、

になり、等号は、
 
のとき成立します。

したがって、8r1+9r2の最小値はになります。

あとは直線l の式を求めるだけです。

図3のように、

で、

ですから、Tのx座標とy座標は、それぞれ、

です。


▲図3.Tの座標は(3/5,4/5)です


したがって、直線l の式は、

になります。

以上をまとめると、8r1+9r2の最小値は  、直線l の式は

で、これが答えです。


簡単な問題です。


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