学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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・友だちと問題を出し合って学習する

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整数問題(24)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年灘高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「pは3以上の素数とする。

(1) ab=2p を満たす自然数 a、b の組は全部で[  ]組ある。

(2) x、y は自然数で、

を満たす。
  ⅰ) x-y の値を求めよ。
  ⅱ) さらに、x/y が自然数であるとき、x、y、p の組をすべて求めよ。」
です。

pは素数なので、ab=2p を満たす自然数a、bの組(a,b)は、(1,2p)、(2,p)、(p,2)、(2p,1)の  組で、これが(1)の答えです。

次に(2)のⅰ)です。

与えられた等式を

とし、左辺を因数分解すると、
(x-y)(2x+2y-1)=2p    [1]
になります。

このとき、2x+2y-1>0、2p>0から x-y>0になり、したがって、2x+2y-1、x-y は自然数です。

また、
2x+2y-1-(x-y)=x+3y-1>0
なので、
2x+2y-1>x-y
になります。

したがって、[1]を満たす自然数2x+2y-1、x-y の組合せ(2x+2y-1,x-y)は、(2p,1)または(p,2)になります。

● (2p,1)の場合
2x+2y-1 は奇数、2pは偶数なので、(2p,1)は不適です。

● (p,2)の場合
2x+2y-1=p            [2]
x-y=2                [3]
から、
4x-5=p
で、例えば、x=3のとき、y=1、p=7になり、これはyが自然数、pが3以上の素数という条件を満たします。

したがって、x-yの値は  で、これがⅰ)の答えです。

最後に(2)のⅱ)です。

x/y=n (nは自然数)
とすると、
x=ny                 [4]
です。

これを[3]に代入して、
ny-y=(n-1)y=2
とすると、これを満たす整数n-1と自然数yの組(n-1,y)は、(1,2)、(2,1)になります。

● (1,2)の場合
n=2、y=2 で、[4]からx=4になり、[2]から p=11 になります。

● (2,1)の場合
n=3、y=1 で、[4]からx=3になり、[2]から p=7 になります。

したがって、条件を満たすx、y、pの組合せ(x,y,p)は、(4,2,11)(3,1,7)で、これがⅱ)の答えです。


簡単な問題です。


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