学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です

指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

>>詳しく読む


塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

学習習慣の身につけ方

・学習する時間を決める

・いろいろなところに学習教材を置いておく

・細切れの時間にも学習する

・学習用の紙と鉛筆を携帯する

・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

 · 

確率の問題(5)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2015年灘高入試に出題された確率の問題を取り上げます。

問題は、
「正二十面体の各面に1から20までの数を1つずつ記したサイコロを3回振るとき、出る目の数を順に a、b、c とする。

(1) a+b+c と abc がともに偶数となる確率を求めよ。

(2) a+b+c と abc がともに4の倍数となる確率を求めよ。

(3) a+b+c と abc がともに8の倍数となる確率を求めよ。」
です。

a+b+c が偶数になるのは、a、b、c の3つが偶数の場合と、1つが偶数で2つが奇数の場合で、このとき、いずれの場合も1つ以上の偶数があるので、 abc は偶数、つまり、2の倍数になります。

したがって、a、b、c の3つが偶数の場合と、1つが偶数で2つが奇数の場合のそれぞれの確率を計算し、それらの和を求めればOKです。

・a、b、c の3つが偶数の場合


・a、b、c の1つが偶数で2つが奇数の場合

(偶数になるのが a、b、c の3通りあるので3倍しています)

以上から、a+b+c と abc がともに偶数になるのは、

で、これが(1)の答えです。

次に(2)です。

表1のように、1から20までの数を4で割った余りを調べましょう。


▲表1.1から20までの数を4で割った余りを調べます


a+b+c が4の倍数になる組合せは、3つの数を4で割った余りが、
(0,0,0)、(0,1,3)、(0,2,2)、(1,1,2)、(2,3,3)
のすべての並び替えです。

これらの組合せで、abc が4の倍数になるのは、0を1つ以上含む組合せ、または、2を2つ以上含む組合せで、
(0,0,0)、(0,1,3)、(0,2,2)
の並び替えになります。

ここで、それぞれの組合せの場合の数を計算すると、
・ (0,0,0)の場合
5×5×5=125(通り)

・ (0,1,3)の場合
5×5×5×3!=750(通り)

・ (0,2,2)の場合
5×5×5×3=375(通り)
で、合計1250(通り)になります。

このとき、すべての場合の数は、20×20×20=8000(通り)なので、a+b+c と abc がともに4の倍数になる確率は、

で、これが答えです。

最後の(3)です。

これも(2)と同じように、表2のように、1から20までの数を8で割った余りを調べましょう。


▲表2.1から20までの数を8で割った余りを調べます


a+b+c が8の倍数になる組合せは、3つの数を8で割った余りが、
(0,0,0)、(0,1,7)、(0,2,6)、(0,3,5)、(0,4,4)、
(1,1,6)、(1,2,5)、(1,3,4)、
(2,2,4)、(2,3,3)、(2,7,7)、
(3,6,7)、
(4,5,7)、(4,6,6)、
(5,5,6)
のすべての並び替えです。

これらの組合せで、abc が8の倍数になるのは、
・ 0を1つ以上含む組合せ
・ 2または6を3つ以上含む組合せ
・ 2または6を1つ以上、4を1つ含む組合せ
・ 4を2つ以上含む組合せ
で、それらは、
(0,0,0)、(0,1,7)、(0,2,6)、(0,3,5)、(0,4,4)、
(2,2,4)、
(4,6,6)
の並び替えになります。

ここで、それぞれの組合せの場合の数を計算すると、
・ (0,0,0)の場合
2×2×2=8(通り)

・ (0,1,7)の場合
2×3×2×3!=72(通り)

・ (0,2,6)の場合
2×3×2×3!=72(通り)

・ (0,3,5)の場合
2×3×2×3!=72(通り)

・ (0,4,4)の場合
2×3×3×3=54(通り)

・ (2,2,4)の場合
3×3×3×3=81(通り)

・ (4,6,6)の場合
3×2×2×3=36(通り)
で、合計395(通り)になります。

以上から、a+b+c と abc がともに8の倍数になる確率は、

で、これが答えです。


楽しい問題です。  


学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533