学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

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・友だちと問題を出し合って学習する

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図形問題(10)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2011年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「2点P、Qで交わる2つの円O、O’があり、円O、O’の中心をそれぞれO、O’とする。円O’の周上に点Oがあり、線分OAが円O’の直径となるように円O’上に点Aをとる。下図のように、円O’の弧PA(ただし、点Oを含まない側で、両端を除く)上に点Kをとり、直線KPと円Oとの交点のうちPでないものをS、直線KQと円Oとの交点のうちQでないものをT、直線OPと円Oとの交点のうちPでないものをRとする。

(1) PS=QT であることを証明せよ。

(2) QR=QT のとき、直線KQは点O’を通ることを証明せよ。」


▲問題図


です。

(1)から始めましょう。

図1のように、∠QOT=2とします。


▲図1.∠QOT=2とします


△OQTは二等辺三角形ですから、
∠OQT=∠OTQ=90°-
です。

一方、四角形OQKPは円O’に内接しているので、
∠OPS=∠OQT=90°-
が成り立ち、さらに△OPSは二等辺三角形なので、
∠OSP=∠OPS=90°-
です。

すると、
∠POS=180°-∠OPS-∠OSP
    =180°-(90°-)-(90°-
    =2
で、
∠QOT=∠POS
が成り立ち、△OPSと△OQTにおいて、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△OPS≡△OQT
になります。

したがって、PS=QT が成り立ちます。

続いて(2)です。

図2のように、∠QOT=、∠OTQ= とすると、△OQT≡△OQR≡△OPSから
∠ROQ=
∠OQR=∠OPS=
になります。


▲図2.∠QOT=、∠OTQ= としました


すると、
∠OTK=180°-∠OTQ
    =180°-∠OPS
    =∠OPK
が成り立ちます。

一方、OQ=OPから弧OQ=弧OPになり、このとき円周角の定理から
∠QKO=∠PKO=
です。

ここで△OTKと△OPKに注目すると、
∠TOK=180°-∠OTK-∠TKO(∠QKO)
    =180°-∠OPK-∠PKO
    =∠POK
が成り立ちます。

これらから
∠ROQ+∠QOT+∠TOK+∠POK=(∠QOT+∠TOK)×2=180°
なので、図3のように、
∠QOT+∠TOK=∠QOK=90°
になります。


▲図3.∠QOK=90°です


ここで弧QAの円周角が90°であることから、線分QKは円O’の直径で、したがって、直線KQは点O’を通ることが判りました。


簡単な問題です。


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