学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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確率の問題(1)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2016年灘高入試に出題された確率の問題を取り上げます。

問題は、
「図のように1から9の数字が書かれている9つのます目がある。また、1から9までの数字が1つずつ書かれている9個の球が袋に入っている。袋から球を順に取り出し、取り出した球に書かれた数字と同じ数字をます目から消してゆく。ただし、取り出した球は袋に戻さない。このます目で、縦一列にある3つの数字、横一列にある3つの数字、あるいは斜め一列にある3つの数字のいずれかがすべて消されたとき、次のルールに従って得点を定め、球を取り出すことをやめる。


▲問題図


ルール
  それまでに取り出した球の個数を  x
  最後に取り出した球の数字が奇数のときは、 y=1
  最後に取り出した球の数字が偶数のときは、 y=2
 として、積xyを得点とする。

このとき、次の問に答えよ。

(1) 得点の最小値は[  ]、最大値は[  ]である。
(2) 得点が最小となる確率を求めよ。
(3) 得点が最大となる確率を求めよ。」
です。

図1のように、縦一列に並んだ3つのます目を1から3列目、横一列に並んだ3つのます目を1から3行目、斜め一列に並んだ3つのます目を右上斜め、右下斜めと呼ぶことにします。


▲図1.3つ並んだます目の呼び方を決めました


それでは(1)から始めましょう。

得点が最小になるのは、
・1回目から3回目までに選んだ球の数字が一列に並ぶ、つまり、x=3
・3回目に選んだ球の数字が奇数、つまり、y=1
の場合です。

これは、例えば1行目の(1,2,3)で、1回目から3回目で順に1、2、3となったときに可能です。

したがって、得点の最小値は 3×1= で、これが答えです。

続いて最大値を調べましょう。

例えば、図2のように、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができます。


▲図2.縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができます


次に、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、7個のます目を消すことができるか調べてみましょう。

7個のます目を消すということは、2個のます目を消さないということで、その消さない2個のます目の選び方は、
[1] 中央と隅に1つずつ
[2] 中央と辺中央に1つずつ
[3] 隅と辺中央に1つずつ
[4] 隅に2つ
[5] 辺中央に2つ
のいずれかの場合になり、それぞれを図3に示します。ここで、回転、裏返しで重なり合うものは除きます。


▲図3.消さない2個のます目の選び方です


図3から判るように、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに7個のます目を消すことはできません。

したがって、得点が最大値になるのは、
・7回目に選んだ球で初めて3つのます目が一列に並ぶ、つまり、x=7
・7回目に選んだ球の数字が偶数、つまり、y=2
の場合です。

これは、例えば図4で、7回目に選んだ球が4になったとき可能です。


▲図4.7回目に選んだ球が4のときx=7、y=2になります


したがって、得点の最大値は 7×2=14 で、これが答えです。

次に(2)です。

1回目から3回目までに選んだ球の数字が一列に並び、かつ、3回目が奇数となる確率を、1、2、3行目、1、2、3列目、右上斜め、右下斜めのそれぞれについて計算し、それらを足し合わせればOKです。

まず、1行目の(1,2,3)について調べましょう。

取り出した順に[1,2,3]と表すと、3回目が奇数になるものは、
[1,2,3]、[2,1,3]、[3,2,1]、[2,3,1]
の4通りで、各組の1、2、3回目の数字が取り出される確率は、それぞれ1/9、1/8、1/7です。

したがって、1行目の(1,2,3)で得点が最小になる確率は、
1/9×1/8×1/7×4=1/126
になります。

これは奇数が2個ある組で同じなので、3行目(8,9,7)、右下斜め(1,4,7)で、得点が最小になる確率も1/126です。

次に1列目の(1,6,8)について調べましょう。

3回目が奇数になるものは、
[6,8,1]、[8,6,1]
の2通りで、各組の1、2、3回目の数字が取り出される確率は、それぞれ1/9、1/8、1/7です。

したがって、1列目の(1,6,8)で得点が最小になる確率は、
1/9×1/8×1/7×2=1/252
になります。

これは奇数が1個ある組で同じなので、2行目(6,4,5)、2列目(2,4,9)、右上斜め(8,4,3)で、得点が最小になる確率も1/252です。

最後に3列目の(3,5,7)について調べましょう。

3回目が奇数になるものは、
[3,5,7]、[3,7,5]、[5,3,7]、[5,7,3]、[7,3,5]、[7,5,3]
の6通りで、各組の1、2、3回目の数字が取り出される確率は、それぞれ1/9、1/8、1/7です。

したがって、3列目の(3,5,7)で得点が最小になる確率は、
1/9×1/8×1/7×6=1/84
になります。

ここまでで、すべての縦、横、斜め列について、得点が最小になる確率の計算が終わりました。

あとはすべての確率の和を計算すればお仕舞いで、それは、
1/126×3+1/252×4+1/84=13/252
で、これが答えです。

最後の(3)です。

(1)から、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができる消し方の一つの例が図2であることが判りました。


▲図2.縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができます(再掲)


それでは、図2以外に、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができるか調べてみましょう。

まず、図5のように、図2を裏返したものも、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができます。


▲図5.図2を裏返したものも、縦、横、斜めいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができます


さらに、図5のように、消されていないます目をA、A’、Bとし、それらと既に消されたます目を入れ替えて、縦、横、斜めのいずれの一列も消さないようにすることができるかを調べてみましょう。

・ AまたはA’を消すと、縦と横にそれぞれ1列ずつ消された列ができて、いずれかの列のます目を1つ替えても消された列が残ります。

・ Bを消すと、縦、横、斜めにそれぞれ1列ずつ消された列ができて、いずれかの列のます目を1つ替えても消された列が残ります。

・ A(A’)かつBを消すと、縦と横にそれぞれ2列と斜めに1列の消された列ができて、いずれかの2つの列のます目を1つずつ替えても消された列が残ります。

・ A(A’)を2つ消すと、縦と横にそれぞれ2列の消された列ができ、消したA(A’)ではない隅の2つのます目を替えることで消された列をなくすことができますが、これは元のます目を裏返しにしたものになります。

・ A(A’)2つとBを消すと、これが消された列になります。

以上から、縦、横、斜めのいずれの一列も消さずに、6個のます目を消すことができる消し方は、図5の2通りであることが判りました。

あとは図6の2つの場合について、得点が最大になる確率を計算し、それらの和を求めればお仕舞いです。


▲図6.それぞれについて得点が最大になる確率を計算し、それらの和を求めます


いずれの場合も、1から6回目までの数字が取り出される確率は、
6/9×5/8×4/7×3/6×2/5×1/4=1/84
です。

図6の左側と右側について、7回目が偶数になる確率はそれぞれ1/3と2/3なので、左側で得点が最大になる確率は 1/84×1/3=1/252、右側で得点が最大になる確率は 1/84×2/3=2/252 です。

したがって、得点が最大になる確率は、
1/252+2/252=1/84
で、これが答えです。


長くなってしまいましたが、簡単な問題です。


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