学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・細切れの時間にも学習する

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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図形問題(8)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2013年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下図のように、円Oの外部の点Pからこの円に引いた2つの接線と円Oとの接点をA、Bとおく。Pを通る直線が円Oと異なる2点C、Dで交わるとする。この直線は円Oの中心Oをを通らないとする。2直線AB、CDの交点をEとおき、線分AB、CDの中点をそれぞれM、Nとおく。次の問いに答えよ。


▲問題図


(1)
   
を証明せよ。

(2)
   
を証明せよ。

(3) PC=3、PD=7、OE=2 のとき円Oの半径を求めよ。」
です。

図1のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました


PA=PBから△PABは二等辺三角形で、Mは線分ABの中点であることから、∠PMA=90°です。

それでは(1)から始めましょう。

図2のようにOとAを直線で結ぶと、Aは直線PAと円Oの接点なので、∠PAO=90°です。


▲図2.△PAO∽△PMAです


そこで、△PAOと△PMAに注目すると、∠PAO=∠PMA、∠APO=∠MPAから△PAD∽△PMAです。

したがって、PO/PA=PA/PM から、

が成り立ちます。

次に(2)です。

図3のようにOとNを直線で結ぶと、Nは弦CDの中点なので、∠PNO=90°です。


▲図3.△PME∽△PNOです


そこで、△PMEと△PNOに注目すると、∠PME=∠PNO、∠MPE=∠NPOから△PME∽△PNOです。

したがって、PE/PM=PO/PN から、PO×PM=PE×PN で、(1)から

なので、

が成り立ちます。

最後の(3)です。

図4に与えられた条件を書き入れました。


▲図4.与えられた条件を書き入れました


方べきの定理から、

が成り立ち、これにPC=3、PD=7を代入して、

になります。

また、PC=3、PD=7からCD=4です。

さらに、Nは線分CDの中点なのでCN=2で、したがって、PN=5になります。

ここで、(2)の結果を利用すると、

です。

続いて図5のように、OとCを直線で結びOC=rとすると、rは円Oの半径になります。


▲図5.△OCNと△OENに三平方の定理を適用します


ここで、△OCNに三平方の定理を適用すると、

から

で、

です。

さらに、△OENに三平方の定理を適用すると、

から

で、これが答えです。


簡単な問題です。


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