学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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図形問題(7)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2016年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「円Oの周上に5点A、N、B、C、Mがこの順にあり、AM=BM、AN=CNである。NMとAB、ACの交点をそれぞれP、Qとし、NBの延長線とMCの延長線の交点をRとするとき、次の(1)、(2)、(3)を証明せよ。


▲問題図


(1) △ANM≡△RNM

(2) 四角形APRQはひし形である。

(3) ∠PAR=∠ONM  」
です。

図1のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました


それでは(1)から始めましょう。

図2のように、∠MNAと∠MBAは弧MAの円周角なので、
∠MNA=∠MBA   [1]
です。


▲図2.∠MNA=∠MNRを示します


また、△MABは二等辺三角形なので、
∠MBA=∠MAB   [2]
です。

さらに、∠MNBと∠MABは弧MBの円周角なので、
∠MAB=∠MNB   [3]
です。

[1]、[2]、[3]から
∠MNA=∠MNB
で、∠MNB=∠MNRから、
∠MNA=∠MNR   [4]
が成り立ちます。

同じように、∠NMA=∠NMRを示しましょう。

図3のように、∠NMAと∠NCAは弧NAの円周角なので、
∠NMA=∠NCA   [5]
です。


▲図3.∠NMA=∠NMRを示します


また、△NACは二等辺三角形なので、
∠NCA=∠NAC   [6]
です。

さらに、∠NACと∠NMCは弧NCの円周角なので、
∠NAC=∠NMC   [7]
です。

[5]、[6]、[7]から
∠NMA=∠NMC
で、∠NMC=∠NMRから、
∠NMA=∠NMR   [8]
が成り立ちます。

一方、NMは共通な辺なので、[4]と[8]から、1組の辺とその両端の角が等しく、△ANM≡△RNM になります。

次に(2)です。

△ANM≡△RNMから△ANP≡△RNP、△AMQ≡△RMQで、AP=RP、AQ=RQが成り立ちます。

したがって、AP=AQであれば、四角形APRQはひし形になります。

そこで∠APQと∠AQPが等しいことを示して、△APQが二等辺三角形であることを示すことにしましょう。

図4のように、∠NAP=、∠PAQ=、∠QAM=とします。


▲図4.∠NAP=、∠PAQ=、∠QAM=とします


このとき、△MABは二等辺三角形なので、∠MAB=∠MBA=で、さらに、∠MBAと∠MNAは弧MAの円周角なので、∠MBA=∠MNA=です。

したがって、∠APQ=∠PNA+∠NAP=∠MNA+∠NAP=になります。

一方、△NACは二等辺三角形なので、∠NAC=∠NCA=で、さらに、∠NCAと∠NMAは弧NAの円周角なので、∠NCA=∠NMA=です。

したがって、∠AQP=∠QMA+∠MAQ=∠NMA+∠MAQ=です。

以上から、∠APQ=∠AQP=で、△APQは二等辺三角形になり、AP=AQが成り立つので、四角形APRQはひし形です。

最後の(3)です。

図5のように、NOの延長と円Oの周の交点でNでない方の点をLとします。


▲図5.NOの延長と円Oの周の交点でNでない方の点をLとしました


△MABは二等辺三角形なので∠MAB=∠MBAで、∠MBAと∠MNAは弧MAの円周角なので∠MBA=∠MNAです。

したがって、
∠MAB=∠MNA   [9]
です。

一方、四角形APRQはひし形でその対角線は垂直に交わるのでARとNMは直交し、さらに∠NMLは半円弧の円周角なのでLMとNMは直交します。

つまり、AR//LMになり、このとき∠RAMと∠LMAは平行線の錯角なので、∠RAM=∠LMAです。

また、∠LMAと∠LNAは弧LAの円周角なので∠LMA=∠LNAになり、したがって、
∠RAM=∠LNA   [10]
です。

[9]と[10]から、∠PAR=∠MAB-∠RAM=∠MNA-∠LNA=∠ONM になります。


簡単な問題です。


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