学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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場合の数の問題(4)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2009年灘高入試に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「8個の数字 1、2、3、4、5、6、7、8 を使って3桁の整数をつくるとき、次の問いに答えよ。

(1) 同じ数字を何回使ってもよいとすれば何個できるか。

(2) 3つの異なる数字を使ってつくるとき、3の倍数は全部で何個できるか。

(3) (2)でできた整数すべての和を求めよ。」
です。

(1)から始めましょう。

百、十および一の位に使うことができる数字はそれぞれ8通りなので、求める整数の個数は 8×8×8= 512(個) で、これが答えです。

次に(2)です。

1から8までの整数を3で割った余りで分類すると表1のようになります。


▲表1.3で割った余りで分類しました


3の倍数の整数は各桁の数の和が3の倍数なので、3桁の整数の場合、
[0] 3で割った余りが0の数3個の並び替え
[1] 3で割った余りが1の数3個の並び替え
[2] 3で割った余りが2の数3個の並び替え
[3] 3で割った余りが0、1、2の数各1個ずつの並び替え
のいずれかになります。

[0]については、3で割った余りが0の数が2個しかないので、3桁の整数をつくることはできません。

[1]については、3で割った余りが1の数が3個なので、それらを並び替えて、3桁の3の倍数は 3×2×1=(個)つくれます。

[2]については、3で割った余りが2の数が3個なので、それらを並び替えて、3桁の3の倍数は 3×2×1=(個)つくれます。

[3]については、3で割った余りが0、1、2の数がそれぞれ2個、3個、3個で、それらからのそれそれ1個の選び方は 2×3×3=18(通り)で、選んだ数の並び替え 3×2×1=6(通り)なので、3桁の3の倍数は 18×6=108(個)つくれます。

以上から、3の倍数は 6+6+108= 120(個) で、これが答えです。

最後の(3)です。

3桁の3の倍数を 100A+10B+C とすると、100A+10C+B、100B+10A+C、100B+10C+A、100C+10A+B、100C+10B+A も3の倍数になり、これらの和は、
100A+10B+C+100A+10C+B+100B+10A+C+100B+10C+A+100C+10A+B+100C+10B+A
=200(A+B+C)+20(A+B+C)+2(A+B+C)
=222(A+B+C)
になります。

つまり、1から8までの8個の整数から和が3の倍数になる3個の数の組合せすべてについて、それらの和を足し合わせて、それに222を乗じたものが(2)でできた整数のすべての和になります。

そこで、1から8までの8個の整数から和が3の倍数になる3個の数の組合せを調べると、表2のようになります。


▲表2.1から8までの8個の整数から和が3の倍数になる3個の数の組合せです


これらの組合せについてそれぞれの和を計算すると、表3のようになります。


▲表3.それぞれの組合せについて和を計算しました


ここで、表3の和を足し合わせると、
6+9+9+12+12+12+15+9+12+12+15+15+12+15+15+18+15+18+18+21
=6+9×3+12×6+15×6+18×3+21
=270
です。

したがって、(2)でできた整数のすべての和は 270×222= 59940 で、これが答えです。


簡単な問題です。


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