学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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図形問題(6)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2009年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「AB=2、∠AOB=90° の直角二等辺三角形AOBがある。図のように、辺AB上(両端は含まない)に2点C、DをCD=1となるようにとり、点EをAC=CE、∠ACE=90° となるようにとる。また、辺ABと線分OEの交点をFとする。このとき、次の問いに答えよ。


▲問題図


(1) ∠FOD=45° を証明せよ。

(2) 点Fを通り直線OBに平行な直線をl、点Dを通り直線OAに平行な直線をmとし、直線lと辺OAの交点をP、直線mと辺OBとの交点をQとする。また、2直線l、mの交点をRとする。このとき、四角形OQRPの面積は三角形AOBの面積に等しいことを証明せよ。」
です。

図1のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1、与えられた条件を書き入れました



まず(1)です。

図2のように、OからABに垂線を下ろしその足をHとすると、OH=1です。


▲図2.OからABに下ろした垂線の足をHとしました


ここで、AC=dとすると、AH=1からCH=1-d、CD=1からHD=dになります。

また、△ACEは直角二等辺三角形なので、AE=√2dです。

そこで、△OAEと△OHDに注目すると、
OA/OH=AE/HD=√2
∠OAE=∠OHD=90°
から、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△OAE∽△OHDで、∠AOE=∠HODが成り立ちます。

すると、∠FOD=∠HOD+∠EOH=∠AOE+∠EOH=∠AOH=45° になります。

次に(2)です。

四角形OQRPは、4つの角がすべて90°なので、長方形で、その面積はOP×OQです。

一方、△AOBの面積は1ですから、OP×OQ=1 を示せばOKです。

それでは、OP、OQを求めましょう。

まずOPから始めます。

図3のように、△FOH∽△FECでEC/OH=dから、FC/FH=dになります。


▲図3.OPとOQを求めます


一方、CH=1-dなので、CF=CH×EC/(OH+EC)=d(1-d)/(1+d)で、これから、AF=AC+CF=d+d(1-d)/(1+d)=2d/(1+d)になり、△PACは直角二等辺三角形なので、AP=2d/√2(1+d)です。

したがって、
OP=OA-AP=√2-2d/√2(1+d)=√2/(1+d)
になります。

続いてOQです。

DB=1-dなので、BQ=√2(1-d)/2で、
OQ=√2(1+d)/2
です。

ここで、OP×OQを計算すると、
OP×OQ=√2/(1+d)×√2(1+d)/2=
になります。

以上から、四角形OQRPの面積と三角形AOBの面積が等しいことを示すことができました。


簡単な問題です。


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