学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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図形問題(5)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2012年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のように、円Oの直径BD、ACの延長と、点A、Bにおける円Oの接線との交点をそれぞれE、Fとし、線分EFの中点をMとする。


▲問題図


(1) AB//EF であることを証明せよ。

(2) ∠ABE=∠EBM であることを証明せよ。

(3) ∠AEBの二等分線と∠BFAの二等分線の交点をNとするとき、EN⊥FNであることを証明せよ。」
です。

まず図1のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました



それでは(1)から始めましょう。

図2の△OAEと△OBFにおいて、
OA、OBは円Oの半径なので、
OA=OB            [1]
です。


▲図2.△OAE≡△OBFから△OEFは二等辺三角形です


また、直線AE、BFは円Oの接線で、それぞれの接点が点A、Bであることから
∠OAE=∠OBF=90°     [2]
で、∠AOEと∠BOFは対頂角なので、
∠AOE=∠BOF         [3]
です。

[1][2][3]から、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△OAE≡△OBF
です。

したがって、OE=OFが成り立ち、△OEFは二等辺三角形になります。

すると、線分EFの垂直二等分線は、直線OMになり、
∠EOM=∠FOM          [4]
です。

ここで直線OMと円Oの弦ABとの交点をHとすると、対頂角は等しいので、
∠EOM=∠BOH
∠FOM=∠AOH
で、これらと[4]から
∠BOH=∠AOH
が成り立ちます。

すると、直線OHは二等辺三角形OABの頂角AOBの二等分線になるので、直線OHは線分ABと垂直に交わります。

したがって、
∠MHA=∠HMF=90°
になり、直線ABと直線EFの錯覚が等しいことから AB//EF です。

次に(2)です。

(1)からAB//EFで、平行線の錯角は等しいので、
∠ABE=∠BEM           [5]
です。

一方、図3のように、∠EAF=∠EBF=90°から4点E、A、B、Fは、点Mを中心とする円の周上にあります。


▲図3.4点E、A、B、Fは、点Mを中心とする円の周上にあります


つまり、線分ME、MBは円Mの半径になるので、
ME=MB
になり、△MEBは二等辺三角形です。

したがって、
∠EBM=∠BEM           [6]
が成り立ちます。

[5][6]から
∠ABE=∠EBM
が成り立ちます。

最後の(3)です。

図4のように、円周角の定理から、
∠AEB=∠AFB(∠BFA)
で、直線EN、直線FNはそれぞれ∠AEBと∠BFAの二等分線なので、
∠AEN=∠AFN
が成り立ちます。


▲図4.∠AEN=∠AFNです


すると、円周角の定理の逆から、4点A、E、F、N は同一円周上にあり、このとき点A、E、Fは円Mの周上にあるので、点Nも円Mの周上にあることになります。

したがって、∠ENFは半円弧の円周角で ∠ENF=90° になることから EN⊥FN です。


簡単な問題です。


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