学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・友だちと問題を出し合って学習する

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面積問題(12)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2013年灘高入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「次の[  ]内に適する数を記入せよ。

AD//BC、∠ABC=∠DCB である台形ABCDに、下図のように点Oを中心とする円が内接している。OA=15cm、OB=20cmのとき、この台形ABCDの面積は[  ]cm2である。」


▲問題図


です。

図1のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました


∠ABC=∠DCBから台形ABCDは等脚台形になり、図2のように、線分ADと線分BCの中点をそれぞれP、Qとすると、直線PQは台形ABCDの対称軸になります。


▲図2.直線PQは台形ABCDの対称軸になります


一方、直線OBと直線OCはそれぞれ∠ABCと∠DCBの二等分線なので、∠OBC=∠OCBで、したがって、△OBCは二等辺三角形です。

したがって、直線OPは線分BCの垂直二等分線になるので、点Oは直線PQ上にあります。

次に図3のように、点Oから線分ABに垂線を下ろしその足をRとします。


▲図3.点Oから線分ABに垂線を下ろしその足をRとしました


ここで、点Pと点Rはそれぞれ円Oと直線AD、ABの接点なので∠AOP=∠AORになり、同様に∠BOQ=∠BORです。

したがって、∠AOB=90°になります。

つまり、△OABは直角三角形で、図4のように、OA=5cm、OB=20cmから AB=25cmになります。


▲図4.AB=25cmです


さらに、△OAB∽△RAO∽△ROBから、図5のように、OA=15cm、OR=12cm、AR=9cm、BR=16cmになります。


▲図5.OA=15cm、OR=12cm、AR=9cm、BR=16cmです


あとは台形ABCDの上底、下底の辺の長さと高さを求めるだけです。

直線AD、直線AB、直線BCは円Oの接線で、それらの接点はそれぞれ、P、R、Qなので、AP=AR=9cm、BR=BQ=16cm です。

一方、台形ABCDの対称軸は直線PQなので、AP=DP、BQ=CQです。

したがって、台形ABCDの上底ADと下底BCの長さはそれぞれ18cmと32cm になります。

また、台形ABCDの高さPQは、円Oの直径の長さなので、OR×2=12×2=24cm です。

以上から、台形ABCDの面積は、(18+32)×24×1/2= 600cm2 で、これが答えです。


簡単な問題です。


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