学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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図形問題(4)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2012年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠Cが直角の直角二等辺三角形ABCがあり、AC=BC=6√2cmである。下図のように、辺AB上に2点P、QをAP=4cm、∠PCQ=45°となるようにとる。


▲問題図


(1) 直線PCに関して点Aと対称な点Dをとる。このとき、△DQC≡△BQCであることを証明せよ。

(2) 線分PQ、BQの長さをそれぞれ求めよ。」
です。

まず図1のように、問題図に与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました


それでは(1)から始めましょう。

直線PCに関して点Aと対称な点Dをとると図2のようになります。


▲図2.点Dを書き入れました


ここから△DQCと△BQCを調べていきましょう。

直線PCは△CADの対称軸なので、
CA=CD      [1]
∠ACP=∠DCP   [2]
です。

一方、仮定から
CA=CB
なので、これと[1]から
CD=CB      [3]
が成り立ちます。

また、
CQは共通      [4]
です。

あとは、∠DCQと∠BCQが等しいことを示せばお仕舞いです。

そこで[2]から
∠ACP=∠DCP=
とすると、
∠DCQ=∠PCQ-∠PCD
    =45°-
で、
∠BCQ=∠ABC-∠PCQ-∠ACP
    =90°-45°-
    =45°-
になり、これらから
∠DCQ=∠BCQ   [5]
が成り立ちます。

[3][4][5]から、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△DQC≡△BQCです。

続いて(2)です。

図3のように、△DQC≡△BQCから∠CDQ=45°です。 


▲図3.四角形ACQDは円に内接します


すると∠CDQ=∠CAQ=45°が成り立つので、周角の定理の逆から四角形ACQDは円に内接します。

ここで、直線CPと円との交点をEとすると、直線CEは弦ADの垂直二等分線になるので、線分CEは円の直径になります。

すると∠CAEは半円弧の円周角なので∠CAE=90°になり、∠CAE=∠ACB=90°からAE//CBで、したがって、△PBCと△PAEは相似になります。(図4)


▲図4.△PBC∽△PAEです


ここで、△ABCはAC=6√2cmの直角二等辺三角形なのでAB=12cmです。

このときPB=8cmなので、△PBCと△PAEの相似比は2:1になり、したがって、AE=3√2cmです。

次に図5のように、△PCQと△PAEに注目すると、これらの三角形も相似です。


▲図5.△PCQ∽△PAEです


ここで直角三角形ACEに三平方の定理を適用すると、

から

になり、CP:PE=2:1から
CP=2√10cm
PE=√10cm
です。

すると、PQ:PE=PC:PAから
PQ=√10×2√10/4=5cm
で、さらに、
BQ=BP-PQ=8-5=3cm
です。

以上から、線分PQ、BQの長さは、それぞれ、5cm と 3cm で、これが答えです。


楽しい問題です。


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