学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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面積問題(11)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2013年灘高入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「長方形ABCDの辺BC、CD、DA上にそれぞれ点E、F、Gをとり、線分EC上に点Hをとると下図のようになり、四角形ABEG、HECFはともに正方形となった。次の問いに答えよ。なお、答えが複数ある場合は、それらをすべて答えること。


▲問題図


(1) 長方形ABCDの面積が長方形GHFDの面積の6倍であるとき、BE:EC をできるだけ簡単な整数の比で表せ。

(2) △ABCの面積が6、△FDGの面積が1であるとき、正方形ABEGの面積を求めよ。」
です。

(1)から取り掛かりましょう。

図1のように、AE=x、EC=yとすると、
(長方形ABCDの面積)=x(x+y)
(長方形GHFDの面積)=(x-y)y
で、与えられた条件から、
x(x+y)=6(x-y)y
が成り立ちます。


▲図1.AE=x、EC=y としました


これを展開・整理して、

とします。

ここで、さらに因数分解すると、
(x-2y)(x-3y)=0
になり、
x=2y または、3y
です。

これから
x:y=2:1、または、3:1
になり、したがって、BE:EC= 2:1、または、3:1 で、これが答えです。

続いて(2)です。

図2に与えられた条件を書き入れました。


▲図2.与えられた条件を書き入れました


△ABCの面積と△FDGの面積がそれぞれ6と1なので、長方形ABCDの面積は長方形GHFDの面積の6倍になり、(1)の結果から、
x=2y、または、3y
が成り立ちます。

一方、
(△ABCの面積)=x(x+y)/2=6
から、

が成り立ちます。

● x=2yの場合

から


● x=3yの場合

から

です。

したがって、正方形ABEGの面積は 8、または、9 で、これが答えです。


△ABCと△FDGの面積をx、yで表して、その連立2次方程式を解いてもOKです。


学研CAIスクール 東久留米滝山校
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TEL 042-472-5533