学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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平成30年度都立高校入試問題(8)[国立高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成30年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問3の図形問題で、それは、
「下の図1で、点Oは線分ABを直径とする半円の中心である。


▲図1.問題図(1)


 点Pは弧AB上にある点で、点Aと点Bのいずれにも一致しない。
 点Bと点Pを結ぶ。
 ただし、∠ABPは60°以下の角とする。
 ∠ABPの二等分線と弧APの交点をQとする。
 点Aと点Qを結び、∠BAQの二等分線と弧BQの交点をRとする。

 次の各問に答えよ。

[問1] 弧BR:弧RP=2:1 のとき、∠ABPの大きさは何度か。

[問2] 下の図2は、図1において、点Qから線分ABに垂直な直線を引き、その交点をH、線分ARと線分QHの交点を I、線分ARと線分BQの交点をJとした場合を表している。


▲図2.問題図(2)


(1) QI=QJ であることを証明せよ。
(2) OA=1cmとする。
    ∠ABP=60°のとき、線分IJの長さは何cmか。」
です。

[問1]です。

図3のように、与えられた条件を書き入れましょう。


▲図3.与えられた条件を書き入れました


図4のように点Aと点Pを結ぶと、∠APBは半円弧に対する円周角なので、∠APB=90°で、同様に、∠AQB=90°になります。


▲図4.∠APB=∠AQB=90°です


ここで、∠ABQ=∠QBP=、∠BAR=∠RAQ=とします。

すると、弧BR:弧RP=2:1から、∠PAR=/2です。

直角三角形ABPの内角に注目すると、
+3/2+90°=180° → 8+6=360°
が成り立ち、さらに直角三角形ABQの内角に注目すると、
+2+90°=180° → 3+6=270°
が成り立ちます。

これら2式から
=90° → =18°
になり、∠ABP=2から
∠ABP=18°×2=36°
で、これが答えです。

次に[問2]の(1)です。

QI=QJを示すには、∠QIJ=∠QJIを示すのがよいでしょう。

そこで図5のように、点Bと点Rを結び、∠QBR=とします。


▲図5.∠QBR=としました


このとき、∠BRJ=∠BRA=90°ですから、直角三角形BRIの内角に注目して、
∠BJR=180°-∠BRJ-∠QBR=90°-
で、∠QJIと∠BJRは対頂角の関係なので、
∠QJI=90°-  [1]
が成り立ちます。

一方、円周角の定理から
∠QBR=∠QAR
で、仮定から
∠QAR=∠BAR
です。

したがって、∠BAR=∠HAI=になります。

ここで、直角三角形AHIの内角に注目すると、
∠AIH=180°-∠AHI-∠HAI=90°-
で、∠QIJと∠AIHは対頂角の関係なので、
∠QIJ=90°-  [2]
が成り立ちます。

[1]と[2]から、∠QJI=∠QIJが成り立ち、2つの内角が等しい三角形は二等辺三角形なので、QI=QJです。

最後の[問2](2)です。

∠ABP=60°から∠BAP=30°です。

一方、∠ABQ=30°から∠BAQ=60°で、したがって、∠BAR=30°になります。

以上から、図6のように、点Pと点Rは同じ点になります。


▲図6.点Pと点Rは同じ点です


このとき、△AHI、△BPJは内角が90°、60°、30°の直角三角形なので、∠AIH=∠BJR=60°で、△QIJは正三角形です。

一方、△ABP≡△BAQからBP=AQで、したがって、△BPJ≡△AQJになるので、
IJ=QJ=PJ   (★)
です。

ここで、直角三角形ABPに注目すると、
AB:BP:AP=2:1:√3
で、AB=2cmですから、
BP=1cm
AP=√3cm
です。

次に、直角三角形BPJに注目すると、
BP:PJ=√3:1
で、BP=1cmですから、
PJ=1/√3=√3/3cm
です。

すると(★)から、
IJ=√3/3 cm
で、これが答えです。


簡単な問題です。


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