学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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図形問題(2)[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2017年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下図のような鋭角∠XOYの二等分線上に点Aがある。Aから半直線OXに垂線ABを下ろす。半直線OY上に、O以外の点Cをとり、Cから半直線OAに垂線CDを下ろす。さらに、Oから直線ACに垂線OEを下ろす。ただし、OC<OBとする。


▲問題図


(1) ∠BEC=∠AOCが成り立つことを証明せよ。
(2) 3点B、D、Eは同一直線上にあることを証明せよ。
(3) 2直線DC、OEの交点をFとする。∠OBD=∠OFCが成り立つことを証明せよ。」
です。

図1のように、問題図に与えられた条件を書き入れましょう。


▲図1.与えられた条件を書き入れました


図1を一見すれば、図2のように、2つの四角形OBAEとODCEが円に内接することが判ります。


▲図2.四角形OBAEと四角形ODCEはそれぞれ円に内接します


(1)は、図3のように、四角形OBAEの外接円の円周角を利用すれば簡単そうです。


▲図3.四角形OBAEの外接円の円周角を利用します


∠BEC=∠BEA
    =∠BOA (弧ABの円周角)
    =∠AOC (仮定)
から、∠BEC=∠AOCが成り立ちます。

次に(2)です。

ここは図4のように、四角形ODCEの外接円の円周角を利用しましょう。


▲図4.四角形ODCEの外接円の円周角を利用します


弧CDの円周角は等しいので、
∠DEC=∠DOC
で、∠DOC=∠AOCと(1)から
∠DEC=∠BEC
です。

したがって、3点B、D、Eは同一直線上にあります。

最後の(3)です。

図5のように、直線CDと半直線OXの交点をGとします。


▲図5.直線CDと半直線OXの交点をGとしました


弧CEの円周角は等しいので、
∠COE=∠CDE
で、また、対頂角は等しいことから
∠CDE=∠GDB
です。

したがって、
∠COE=∠GDB               [1]
が成り立ちます。

ここで、△OBDに注目すると、
∠OBD=180°-∠BOD-∠ODB
    =180°-∠BOD-∠ODG-∠GDB
    =180°-∠BOD-90°-∠GDB
    =90°-∠BOD-∠GDB 
です。

一方、△ODFに注目すると、
∠OFC=∠OFD
    =180°-∠DOF-∠ODF
    =180°-∠DOF-90°
    =90°-∠DOF           [2]
です。

このとき、
∠DOF=∠DOC+∠COE
    =∠BOD+∠GDB  (仮定と[1]から)
で、[2]から
∠OFC=90°-∠BOD-∠GDB
です。

以上から
∠OBD=∠OFC
が成り立ちます。


簡単な問題です。


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