学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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平成30年度都立高校入試問題(7)[共通]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成30年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、共通問題で出題された大問4の図形問題で、それは、
「下の図1で、点Oは線分ABを直径とする円の中心である。


▲図1.問題図(1)

点Cは円Oの周上にある点で、弧AC=弧BCである。
点Pは、点Cを含まない弧AB上にある点で、点A、点Bのいずれにも一致しない。
点Aと点C、点Cと点Pをそれぞれ結び、線分ABと線分CPとの交点をQとする。

 次の各問に答えよ。

[問1] 図1において、∠ACP=a° とするとき、∠AQPの大きさを表す式を、次のア~エのうちから選び、記号で答えよ。
     ア (60-a)度   イ (90-a)度   ウ (a+30)度   エ (a+45)度

[問2] 下の図2は、図1において、点Aと点P、点Bと点Pをそれぞれ結び、線分BPをPの方向に延ばした直線上にありBP=RPとなる点をRとし、点Aと点Rを結んだ場合を表している。


▲図2.問題図(2)


 次の①、②に答えよ。

① △ABP≡△ARPであることを証明せよ。

② 次の[  ]の中の「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
  図2において、点Oと点Pを結んだ場合を考える。
  弧BC=2×弧BPのとき、
  △ACQの面積は、四角形AOPRの面積の[ か ]/[ き ]倍である。」
です。

[問1]です。

図3のように、与えられた条件を図1に書き入れましょう。


▲図3.与えられた条件を図1に書き入れました

図4のように、弧AC=弧BCから∠AOC=90°なので、△OACは直角二等辺三角形になります。


▲図4.△OACは直角二等辺三角形です

つまり、∠OCA=45°で、これから∠OCQ=(45-a)°です。

ここで△OCQの内角に注目すると、∠OQC=180°-90°-(45-a)°=(45+a)°で、∠AQPと∠OQCは対頂角でひとしいので、∠AQP=(45+a)°です。

したがって、 が答えです。

続いて[問2]の①です。

図5のように、与えられた条件を図2に書き入れましょう。


▲図5.与えられた条件を図2に書き入れました

図5で、∠APBは半円弧ACBに対する円周角なので、∠APB=90°です。

すると、△ABPと△ARPはどちらも直角三角形で∠APB=∠APR=90°になり、さらに、BP=RP(仮定)、APは共通から、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABP≡△ARPです。

最後の②です。

図6のように、△ACQ(赤色でマークしました)と四角形AOPR(緑色でマークしました)の面積を計算するのですが、いくつかの相似三角形があって、どれを選ぶか迷うところです。


▲図6.△ACQ(赤色でマーク)と四角形AOPR(緑色でマーク)です

ここでは図7のように、△ACQ(赤色でマーク)と△OBP(緑色でマーク)を選ぶのが簡単そうです。


▲図7.△ACQ(赤色でマーク)と△OBP(緑色でマーク)を選びます

弧BCは円周の1/4なので、その中心角∠BOC=90°、円周角∠BAC=45°です。

また弧BC=2×弧BPから、弧BPに対する中心角∠BOP=45°になります。

したがって、∠BAC=∠BOPです。

一方、∠ACPと∠ABPは弧AP(点B、Cを含まない方)の円周角なので、∠ACP=∠ABPで、∠ACP=∠ACQ、∠ABP=∠OBPから、∠ACQ=∠OBPです。

以上から、△ACQ∽△OBPであることが判りました。

そこで、これらの相似比を計算しましょう。

図8のように、円Oの半径をrとすると、AC=√2rで、AC:OB=√2r:r=√2:1です。


▲図8.円Oの半径をrとしました

つまり、
(△ACQの面積):(△OBPの面積)=2:1      (1)
になります。

次に、△BOPと△BARに注目すると、BO:BA=BP:BR=1:2、∠Bは共通から、△BOP∽△BARで、相似比は1:2です。

つまり、(△BOPの面積):(△BARの面積)=1:4で、このとき、(四角形AOPRの面積)=(△BARの面積)-(△OBPの面積)なので、
(△OBPの面積):(四角形AOPRの面積)=1:3   (2)
です。

すると(1)と(2)から、
(△ACQの面積):(四角形AOPRの面積)=2:3
になります。

したがって、[ か ]=2[ き ]=3 で、これが答えです。


[問2]の②では、異なる組合せの相似三角形を選んでもOKですが、少し煩雑になりそうです。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533




コメント
 

but のはなし

2018-04-30 11:07:17 | 英語の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中1教科書の最初の LESSON に、
  Ken   : I’m tired. Are you?
         (くたびれた。きみは。)
Meiling : No.I’m not tired. But I’m hot.
         (いいえ。疲れていません。でも暑いです。)
という会話文があります。

ここに出てくる but は 「しかし」 を意味するお馴染みの 接続詞 ですが、教科書をしばらく読み進めると、「海外の公園などで見られる看板」 の写真が掲載してあって、そこに、

PLEASE TAKE 
NOTHING BUT 
 PICTURES
LEAVE NOTHING
BUT FOOTPRINTS

(写真以外とらないでください。
足跡以外残さないでください。)

という文言を見つけることができます。

この看板の BUT は、お馴染みの接続詞 「しかし」 ではなく、「~を除いて」 を意味する 前置詞 で、その用法を オックスフォード実例現代英語用法辞典 で調べてみると、
all、none、every、any、no(それに、everything、everybody、nothing、nobody、anywhere など)の後で「~を除いて」の意味で用いるとあり、例文として、

He eats nothing but hamburgers.
(彼はハンバーガーしか食べない)

I’ve finished all the jobs but one.
(私は1つを残して全部の仕事を終えた)

Everybody’s here but George.
(ジョージ以外はみんないます)
が挙げてあります。

これらの 接続詞前置詞 以外にも、but には、副詞代名詞名詞動詞 があり、例えば、 ウィズダム英和辞典 の 動詞 の but には、「<人>に『しかし』と言う」を表すとあり、
But me no buts
(「しかし、しかし」と言わないでください。 弁解[議論]はもうたくさんです。)
という例文が挙げてあります。(前の but が 動詞 、後が 名詞 です)


辞書で but を調べてみるといいかもしれません。

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