学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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日本数学オリンピックの難しい問題(21)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年日本数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「AB<ACなる三角形ABCの辺AB、AC上(端点を含まない)に点D、Eがあり、CA=CD、BA=BEをみたしている。三角形ADEの外接円を ω とし、さらに直線BCに関してAと対称な点をPとおく。直線PDと ω の交点のうちDでない方をX、直線PEと ω の交点のうちEでない方をYとするとき、直線BXと直線CYが ω 上で交わることを示せ。
 ただし、STで線分STの長さを表すものとする。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました


図1のように、直線BXと直線CYの交点がXに対してBと反対側にある場合やXと一致またはBと同じ側にある場合が考えられますが、今回は図1のような場合を調べます。(多分、いずれの場合も同じように解けると思います)

図2のように、
BA=BEから、∠A=∠BEA
CA=CDから、∠A=∠CDA
∠A=∠BPC
なので、四角形PBDCと四角形PBECは円に内接し、したがって、P、B、C、D、Eは同一円周上の点になります。


▲図2.P、B、C、D、Eは同一円周上の点です


次に、△ABCと△AXYが相似であることを示しましょう。

図3のように、四角形AXYEは ω に内接しているので、∠AXY=∠CEY=∠CEPです。


▲図3.∠AXY=∠Bを示します


すると円周角の定理から∠CEP=∠CBPで、さらに、△ABCと△PBCは直線BCを対称の軸とする対称な図形なので、∠CBP=∠Bです。

したがって、∠AXY=∠Bが成り立ちます。

続いて図4のように、円周角の定理から、∠AYX=∠ADXで、対頂角は等しいので、∠ADX=∠BDPです。


▲図4.∠AYX=∠Cを示します


すると円周角の定理から、∠BDP=∠BCPで、さらに、△ABCと△PBCは直線BCを対称の軸とする対称な図形なので、∠BCP=∠Cです。

したがって、∠AYX=∠Cが成り立ちます。

以上から、△ABC∽△AXYで、すると図5のように、∠A=∠XAYから、∠XAB=∠YACです。


▲図5.∠XAB=∠YACです


さらに、△ABC∽△AXYなので、AB:AX=AC:AYで、これと∠XAB=∠YACから、△ABX∽△ACYです。

したがって、∠ABX=∠ACYが成り立ちます。

次に図6のように、直線CYと直線BXの交点をZ、直線CYと直線ABの交点をQとします。


▲図6.直線CYと直線BXの交点をZ、直線CYと直線ABの交点をQとします


ここで、△QBZと△QCAに着目すると、∠QBZ=∠QCA、∠BQZ=∠CQA(対頂角)から△QBZ∽△QCAです。

したがって、∠BZQ=∠CAQ=∠Aが成り立ちます。

すると図7のように、∠BZQ=∠XZY、∠A=∠XAYなので、∠XZY=∠XAYが成り立ち、このとき円周角の定理の逆から、Zは ω 上にあります。


▲図7.∠XZY=∠XAYからZは ω 上にあります


XとZの位置関係が異なる場合も同様です。


楽しい問題です。


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