学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・細切れの時間にも学習する

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

・学習雑誌などの懸賞問題にチャレンジする

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中学生でも手が届く京大入試問題(33)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度京大入試問題(前期、文系)です。

問題は、
「整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して、次の一連の操作を考える。
ただし、各球に書かれている整数は1つのみとする。

(ⅰ) 袋から無作為に球を1個取り出し、その球に書かれている整数をkとする。
(ⅱ) k≠0 の場合、整数kが書かれた球を1個新たに用意し、取り出した球とともに袋に戻す。
(ⅲ) k=0 の場合、袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より1大きい整数が書かれた球を1個新たに用意し、取り出した球とともに袋に戻す。

整数0が書かれている球が1個入っており他の球が入っていない袋を用意する。

この袋に上の一連の操作を繰り返しn回行った後に、袋の中にある球に書かれているn+1個の数の合計をXnとする。例えば、X1 はつねに1である。以下n≧2として次の問いに答えよ。

(1)
  
である確率を求めよ。

(2)
  
である確率を求めよ。」
です。

まず初めに、Xnを見積もってみましょう。

最初、袋の中には整数0が書かれた球しか入っていないので、1回目の操作では、それを取り出し、新たに整数1を書いた球と一緒に袋に戻すことになります。

2回目以降の操作で、整数1が書かれた球を取り出し続けた場合、Xnは1ずつ増えていくので、n回目の操作後のXnは、
Xn=0+1+1+・・・+1=n (1がn個並びます)
で、これがXnの最小値になります。

一方、2回目以降の操作で、整数0が書かれた球を取り出し続けた場合、Xnは1、2、3、・・・nと増えていくので、n回目の操作後のXnは、
Xn=0+1+2+・・・+n=n(n+1)/2
で、これがXnの最大値になります。

以上から、

が成り立ちます。

それでは(1)に取り掛かれましょう。


で、Xnは整数であることから、Xnは最大値または最大値-1になります。

Xnが最大値になるのは、整数0が書かれた球をn回続けて取り出した場合なので、その確率P1は、

です。

また、Xnが最大値-1になるのは、整数0が書かれた球をn-1回続けて取り出し、n回目に整数n-1が書かれた球を取り出した場合なので、その確率P2は、

です。

したがって、Xn≧(n+2)(n-1)/2になる確率P3は、

で、これが答えです。

続いて(2)です。

(1)と同じように、
Xn≦n+1
から、Xnは最小値または最小値+1になります。

Xnが最小値になるのは、2回目以降、整数1が書かれた球をn-1回続けて取り出した場合なので、その確率P4は、

です。

また、Xnが最小値+1になるのは、2回目以降、整数1が書かれた球をn-2回(n≧3)、整数0が書かれた球を1回取り出した場合です。

ここで、整数0が書かれた球をk回目の操作で取り出した場合を考えると、その確率P5は、

になり、このときkはn-1通り可能なので、Xnが最小値+1になる確率P6は、

です。

したがって、Xn≦n+1 (n≧3)になる確率P7は、

で、ここでn=2のとき、P2=2/n=1に対し、X2=2または3、n+1=3で、必ずXn≦n+1を満たすので、n=2のときも成り立ちます。


楽しい問題です。


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