学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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塾長執筆ブログ

東久留米便利帳

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・細切れの時間にも学習する

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・学習場所に図書館など利用する

・友だちと問題を出し合って学習する

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中学生でも解ける東大大学院入試問題(206)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成30年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「O、A、B、Cを頂点とする4面体の3つの線分OA、OB、OCが互いに直交し、それぞれの長さがa、b、cであるとき、頂点Oから平面ABCへ下ろした垂線の長さを求めよ。」
です。

点(x1,y1,z1)から平面ax+by+cz+d=0へ下ろした垂線の長さが、

になることを知っていれば簡単です。

図1のように、空間座標に4面体OABCをおくと、平面ABCは、

で、これを整理すると、

になります。


▲図1.空間座標に4面体OABCをおきました


原点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さは、

で、これが答えです。

点から平面に下ろした垂線の長さの関係を利用しなくても次のように解くことができます。

4面体OABCで、底面を△OABと考えると、∠AOB=90°なので、その面積S(OAB)は、
S(OAB)=ab/2
です。

このとき、∠AOC=∠BOC=90°から高さはcになり、4面体OABCの体積V(OABC)は、
V(OABC)=ab/2×c×1/3=abc/6       (★)
になります。

次に、△ABCを底面として4面体OABCの体積を表します。

図2に示すように、AB、BC、CAの長さは、三平方の定理から、

です。


▲図2.△ABCを底面として4面体OABCの体積を表します


そこで図3のように、AからBCに下ろした垂線の足をD、BD=x、AD=yとすると、三平方の定理から

が成り立ち、これらから

です。


▲図3.△ABCに注目します


したがって、△ABCの面積S(ABC)は、

になります。

ここで、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をH、OHの長さをhとすると、4面体OABCの体積V(OABC)は、

で、これは(★)と等しいので、

が成り立ちます。

これをhについて解くと、

になり、前の答えと同じになりました。


簡単な問題です。


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