学研CAIスクール東久留米滝山校は経済産業省おもてなし規格認証登録企業です
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指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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ジュニア数学オリンピックの難しい問題(20)

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年ジュニア数学オリンピック本選に出題された最小値を求めるを取り上げます。

問題は、
「5人の人がいる。すべての2人組に対して年令差を計算したところ、それらはすべて異なる正の整数値であった。最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図1のように、5人の人を若い順にA、B、C、D、Eとし、AとB、BとC、CとD、DとEの年令差をそれぞれp、q、r、sとしましょう。


▲図1.5人をA、B、C、D、E、年令差をp、q、r、sとしました


ここで p、q、r、sの順に可能な最小値を入れて、AとEのおよその年令差を見積もりましょう。

まず図2のように、p=1、q=2とすると、p+q、つまりAとCの年令差は3になります。


▲図2.p=1、q=2としました


するとrに入れることが可能な最小値は4になり、図3のように、AとD、BとDの年令差はそれぞれ7と6になります。


▲図3.r=4としました


このとき、sに入れることが可能な最小値は5になり、図4のように、AとE、BとE、CとEの年令差はそれぞれ12、11、9になります。


▲図4.s=5としました


以上から、最も年上の人と最も年下の人の年令差は12以下で、
p+q+r+s≦12
が成り立ちます。

一方、p、q、r、sは互いに異なる正の整数なので、
p+q+r+s≧1+2+3+4=10
で、これらをまとめると、
10≦p+q+r+s≦12
になります。

ここで、すべての2人組の年令差がすべて異なる正の整数になるということについて調べましょう。

例えば、AとBの年令差と、AとCの年令差のように明らかに異なるものを除くと、考えなければならない年令差は、
p、q+r、r+s、q+r+s
q、(r+s)
r、p+q
s、(p+q)、(q+r)、p+q+r
で、これらがすべて異なる値にならなければなりません。

そこで、p+q+r+s=10の場合、上の重複していない5個の式(( )を除いたもの)が異なる値をとることができるか調べてみましょう。

p+q+r+s=10になるp、q、r、sの組合せは、1、2、3、4の並び替えで、これらのなかの2つの和で互いに異なるものは、3、4、5、6、7です。

これらの5個の整数のうち、p、q、r、sの値である1、2、3、4と異なるものは、5、6、7の3個で、12個の式のなかの2つの和p+q、q+r、r+sは、5、6、7の並び替えになります。

このとき、(p+q)+(q+r)+(r+s)=p+2q+2r+s=18で、これから、p+q+r+s=10を引くと、q+r=8になり、q+r=5、または、6、または、7と矛盾します。

したがって、p+q+r+s=10の場合、すべての2人組の年令差がすべて異なる正の整数になることはありません。

続いて、p+q+r+s=11の場合です。

この場合、図5のように、p=2、q=5、r=1、s=3のとき、すべての2人組の年令差がすべて異なる正の整数になります。


▲図5.すべての2人組の年令差がすべて異なる


以上から、最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値は 11 で、これが答えです。


見通しのよい問題です。


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