指導方針

個別指導塾の学研CAIスクール東久留米滝山校では、子供への愛情溢れる講師陣によるきめ細やかな指導で生徒の向学心、勉強の楽しさを引き出します。入塾後、教科書に準拠した学研の学習システム「VICTORY」とワークに基づいた個人学習計画を策定します。それまでの単元で理解度が不足している生徒については遡って学習することができる補習塾・進学塾です。中学受験・高校受験にもきめ細かく対応します。

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東久留米市 滝山4丁目の地域センターの近くです
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この時期お薦めの塾長ブログ記事

期末試験の出題範囲に「三角形の合同」やそれを利用する証明問題が含まれている中2生も多いかと思いますが、今回は図形問題解法のための基礎知識をまとめたいと思います。

中学での図形証明問題は大別して、(1)2つの指定された三角形の合同を証明する、(2)2つの指定された辺の長さや角の大きさが等しいことを証明する、の2つになります。

(1)は2つの三角形が決められいるので、〈1〉3組の辺がそれぞれ等しい、〈2〉2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、〈3〉1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、のいずれかに当てはめればお仕舞いとなります。

(2)の場合は、指定された辺や角を含む三角形を選び、それらの三角形が合同であることを証明し、合同な三角形の対応する辺の長さや角の大きさが等しいと言えばお仕舞いです。

つまり、どちらも三角形の合同を証明することがポイントになります。と言うことは、辺の長さなり角の大きさなりが等しいということを最大3つ明らかにする必要があります。(仮定で与えられていたり、共通となっていたりするものもあるので最大3つとなります)

そこで、それらを示す基本は何かと言うと、小学生のときに勉強した図形の基本性質になります。例えば、正方形の辺はすべて等しい、正方形の内角は90°、などです。それらの復習を兼ねて、知っていなければならない事項を列挙します。

【直線】
・平行でない直線が交わったとき、対頂角は等しい
・平行な直線に1つの直線が交わったとき、同位角、錯角は等しい
 (平行⇔同位角、錯角が等しい) (X⇔Yは、XならばY、かつ、YならばX を表します)

【三角形】
・三角形の内角の和は180°

【直角三角形】⊆三角形  (X⊆Yは、Yの性質はXの性質でもある、を表します)
・1つの内角が90°

【二等辺三角形】⊆三角形
・二等辺三角形の2つの辺の長さは等しい
・二等辺三角形の底角は等しい
・2つの辺の長さが等しい⇔2つの辺の長さが等しい
・二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺に垂直に交わり、かつ底辺を2等分する

【正三角形】⊆三角形、二等辺三角形
・正三角形の3つの辺の長さは等しい
・正三角形の内角はすべて等しく60°

【四角形】
・内角の和は360°

【台形】⊆四角形
・1組の対辺が平行

【等脚台形】⊆四角形、台形
・平行でない対辺の長さが等しい
・平行な対辺の1つと平行でない2つの辺とがなす角が等しい
・平行な対辺と平行でない辺とがなす角の和は180°

【平行四辺形】⊆四角形、台形、等脚台形
・2組の対辺がそれぞれ平行
・2組の対辺の長さがそれぞれ等しい
・2組の対角の大きさがそれぞれ等しい
・1組の対辺が平行で、かつ、その長さが等しい
・2つの対角線がお互いに2等分する
・1辺の両端の角の大きさの和が180°

【ひし形】⊆四角形、台形、等脚台形、平行四辺形
・辺の長さがすべて等しい
・2つの対角線が直交する
・対角線は内角の2等分線

【長方形】⊆四角形、台形、等脚台形、平行四辺形
・内角は90°

【正方形】⊆四角形、台形、等脚台形、平行四辺形、ひし形、長方形

以上が図形の基本知識ですが、「折り返し」や「回転」と言ったような図形問題の出題パターンがあり、これにも慣れておくと良いでしょう。

「折り返し」は、図1に示したように元の図形(ここでは、長方形)を折るというもので、ここで知っておかなければならないのは、折り返しの線分が折り返す前後の図形の対称軸になるということです。図1の場合は、△BCF≡△BEFとなります。

▲図1.「折り返し」


また、「回転」は、図形のある1点を中心に図形を回転させるもので、図2に正方形を回転させたものを例示します。


▲図2.「回転」


これで知っておかなければならないのは、図2にあるように、∠ABE=∠FBCとなることです。これは、∠ABC=∠EBF で両方の角から∠EBCを引くと、
∠ABC-∠EBC=∠ABE
∠EBF-∠EBC=∠FBC
から、∠ABE=∠FBC
となります。

以上が中学2年までの図形問題を解くための基礎知識ですが、問題を解きながら確認すると良いでしょう。また、中3では、上記のほかに、三平方の定理、相似、円などを勉強します。頑張ってください。

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